Question

如图，BD是等边△ABC一边上的高，延长BC至E，使CE=CD，
（1）试比较BD与DE的大小关系，并说明理由；
（2）若将BD改为△ABC的角平分线或中线，能否得出同样的结论？

Answer 1

解：（1）BD=DE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
又∵BD是AC边上的高，
∴∠1=∠2=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED，
又∵∠ACB=∠CDE+∠CED=60°，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠2=∠CED，
∴BD=DE；

（2）若将BD改为△ABC的角平分线或中线，能得出同样的结论．
道理同（1），由于等腰三角形存在三线合一定理．
分析：（1）由于△ABC是等边三角形，那么BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，而BD是高，于是有∠1=∠2=∠ABC=30°，又CD=CE，∠ACB=∠CDE+∠CED=60°，易求∠E=30°，从而可得∠2=∠CED，那么BD=DE；
（2）若将BD改为△ABC的角平分线或中线，能得出同样的结论．道理同（1），由于等腰三角形存在三线合一定理．
点评：本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、三角形外角的性质，解题的关键是注意等边三角形是特殊的等腰三角形，求出∠2和∠CED．