题目内容
如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P以每秒2个单位长度由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，同时点Q以每秒a个单位长度由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，连接PQ．设时间为t（0＜t＜5）秒．（1）当a=1时．
①当t为何值时，PQ∥BO？
②设△AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
（2）当a＞0时，以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，求a的值．
考点：相似形综合题
专题：综合题
分析：（1）①如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式
=
，求出t的值；
②过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，易得△APD∽△ABO，利用对应边成比例表示出PD的长度，继而可得S关于t的表达式，利用配方法求最值即可．
（2）若△OPQ与△AOB相似，由题意可知：0°＜∠POQ＜90°，需要分三种情况讨论，①当∠POQ=∠OAB且∠PQO=90°时，②当∠POQ=∠OAB且∠OPQ=90°时，③当∠PAQ=∠ABO且∠PQO=90°时，分别利用相似三角形对应边成比例的性质，表示出BP、AQ，从而得出a的值．
| AP |
| AB |
| AQ |
| AO |
②过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，易得△APD∽△ABO，利用对应边成比例表示出PD的长度，继而可得S关于t的表达式，利用配方法求最值即可．
（2）若△OPQ与△AOB相似，由题意可知：0°＜∠POQ＜90°，需要分三种情况讨论，①当∠POQ=∠OAB且∠PQO=90°时，②当∠POQ=∠OAB且∠OPQ=90°时，③当∠PAQ=∠ABO且∠PQO=90°时，分别利用相似三角形对应边成比例的性质，表示出BP、AQ，从而得出a的值．
解答：解：
（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），
∴OB=6，OA=8，
在Rt△OAB中，AB=
=
=10，
如图①，当PQ∥BO时，AQ=t，BP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ∥BO，
∴
=
，即
=
，
解得：t=
，
∴当t=
秒时，PQ∥BO．
如图②所示
，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，
∴△APD∽△ABO，
∴
=
，即
=
，
解得：PD=6-
t，
∴S=
AQ×PD=
t（6-
t）=-
t2+3t=-
（t-
）+
（0＜t＜5），
∴当t=
时，S取得最大值，最大值为
．
（2）若△OPQ与△AOB相似，由题意可知：0°＜∠POQ＜90°，
①当∠POQ=∠OAB且∠PQO=90°时（如图③），△OPQ∽△ABO，
∴PQ垂直平分OA，
∴OQ=AQ=4，
∴AP=OP=5，BP=AB-AP=5，
∴10-2t=5，at=4，
∴a=
；
②当∠POQ=∠OAB且∠OPQ=90°时（如图③），△OPQ∽△AOB，
∴OQ=
OP=
，at=8-
=
，
又∵t=
，
∴a=
；
③当∠PAQ=∠ABO且∠PQO=90°时（如图④），△OPQ∽△BAO，
此时OP⊥AB，
∴OP=
OB=
，BP=
OB=
，
∴t=
，at=8-
OP=
，
∴a=
，
综上可得：a的值为
或
或
时，以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．
（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），∴OB=6，OA=8，
在Rt△OAB中，AB=
| OA2+OB2 |
| 62+82 |
如图①，当PQ∥BO时，AQ=t，BP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ∥BO，
∴
| AP |
| AB |
| AQ |
| AO |
| 10-2t |
| 10 |
| t |
| 8 |
解得：t=
| 40 |
| 13 |
∴当t=
| 40 |
| 13 |
如图②所示
，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，∴△APD∽△ABO，
∴
| AP |
| AB |
| PD |
| OB |
| 10-2t |
| 10 |
| PD |
| 6 |
解得：PD=6-
| 6 |
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
∴当t=
| 5 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
（2）若△OPQ与△AOB相似，由题意可知：0°＜∠POQ＜90°，
①当∠POQ=∠OAB且∠PQO=90°时（如图③），△OPQ∽△ABO，
∴PQ垂直平分OA，
∴OQ=AQ=4，
∴AP=OP=5，BP=AB-AP=5，
∴10-2t=5，at=4，
∴a=
| 8 |
| 5 |
②当∠POQ=∠OAB且∠OPQ=90°时（如图③），△OPQ∽△AOB，
∴OQ=
| 5 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
又∵t=
| 5 |
| 2 |
∴a=
| 7 |
| 10 |
③当∠PAQ=∠ABO且∠PQO=90°时（如图④），△OPQ∽△BAO，
此时OP⊥AB，
∴OP=
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
∴t=
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 128 |
| 25 |
∴a=
| 128 |
| 45 |
综上可得：a的值为
| 8 |
| 5 |
| 7 |
| 10 |
| 128 |
| 45 |
点评：本题考查了相似形的综合，是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值，难点在第（2）问，很容易漏解，同学们注意分类讨论思想的运用．
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| B、有一个角相等的两个等腰梯形 |
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| D、对角线互相垂直且相等的两个四边形 |
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