Question

8．扇形BOA的弧长为$\frac{4}{3}$π，面积为$\frac{4}{3}$π，在$\widehat{AB}$上取一点C，作CP⊥OA于P，CQ⊥OB于Q，△CPO的角平分线PN、QM交于I．当OP≤$\sqrt{3}$时，下列结论中错误的是（　　）

• A． ⊙O半径为2
• B． ∠PCQ=60°
• C． NQ+MP=$\sqrt{3}$
• D． CN+CM=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先根据扇形的弧长、面积求出半径、圆心角，不难判断A、B正确，在PQ上取一点R，使得QR=NQ，连接IR，只要证明QN=QR，PM=PR，得NQ+PM=QP，求出QP即可判断C正确，由此即可解决问题．

解答 解：∵扇形BOA的弧长为$\frac{4}{3}$π，面积为$\frac{4}{3}$π，
设扇形的圆心角为n，圆的半径为r，
∴$\frac{nπr}{180}$=$\frac{4}{3}$π，$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
∴nr=240，nr²=480，
∴r=2，n=120°，故A正确．
∵CP⊥OA于P，CQ⊥OB于Q，
∴∠CQO=∠CPO=90°，
∴∠PCQ=360°-（∠CPQ+∠CQO+∠POQ）=60°，故B正确．
在PQ上取一点R，使得QR=NQ，连接IR，
∵△CPO的角平分线PN、QM交于I，
∴∠NQI=∠RQI，∠MPI=∠RPI，
∵QI=QI，
∴△NQI≌△RQI，
∴IN=IR，∠QIN=∠QIR，
∵∠PIQ=180°-$\frac{1}{2}$（∠CQP+∠CPQ）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠PCQ）=120°，
∴∠QIN=∠QIR=60°，∠PIM=∠PIR=60°，∵IP=IP，
∴△MPI≌△RPI，
∴MP=RP，IM=IR，
∴IN=IR=IM，
∵QR+PR=PQ，
∴NQ+MP=PQ，
∵O、P、C、Q四点共圆，OC为直径，
∴PQ=OC•sin∠PCQ=$\sqrt{3}$，
∴NQ+MP=$\sqrt{3}$，故C正确．
∵OC＞PC=MP+CM，OC＞QC=NQ+CN，
∴2OC＞NQ+MP+CN+CM=$\sqrt{3}$+CN+CM，
∴CN+CM＜4-$\sqrt{3}$，
∴CN+CM的值不能确定．故D错误，
故选D．

点评 本题考查扇形的弧长、面积等知识，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式、面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．