Question

求方程

1

x

+

1

y

+

1

z

=

5

6

的正整数解．

Answer 1

分析：从x，y，z是正整数入手，确定它们倒数的取值范围，从而确定x，y的取值，进而得出z的取值．

解答：解：∵x，y，z是正整数，并且

1

x

+

1

y

+

1

z

=

5

6

＜1
∴x，y，z都＞1，不妨设
1＜x≤y≤z
∴

1

x

≥

1

y

≥

1

z

，于是

1

x

＜

1

x

+

1

y

+

1

z

≤

1

x

+

1

x

+

1

x

=

3

x

即

1

x

＜

5

6

≤

3

x

∴

6

5

＜x≤

18

5

，可确定x=2或3，
当x=2时，得

1

y

＜

1

y

+

1

z

=

5

6

-

1

2

=

1

3

≤

1

y

+

1

y

=

2

y

，
即

1

y

＜

1

3

 ≤

2

y

∴3＜y＜6，可确定y=4或5或6．
当x=3时，由

1

x

+

1

y

+

1

z

=

5

6

-

1

3

=

1

2

得：

1

y

＜

1

y

+

1

z

=

1

2

≤

1

y

+

1

y

=

2

y

．
即

1

y

＜

1

2

≤

2

y

，
∴2＜y≤4可知y=3或4，于是由

x=2 y=4

得，z=12；

x=2 y=5

得，z=

2

15

（舍去）

由

x=2 y=6

得，z=6，

x=3 y=3

得，z=6；

x=3 y=4

得，z=4．
因此，当1＜x≤y≤z时，解
（x，y，z）（2，4，12），（2，6，6），
（3，3，6），（3，4，4）共四组
由于x，y，z在方程中地位平等，所以可得如下表所列的15组解

x	2	2	4	4	12	12	2	6	6	3	3	6	3	4	4
y	4	12	2	12	2	4	6	2	6	3	6	3	4	4	3
z	12	4	12	2	4	2	6	6	2	6	3	3	4	3	4

点评：此题主要考查了分式方程整数根的求法，以及利用极值法确定未知数的范围，题目综合性较强．