Question

（1）求方程15x+52y=6的所有整数解．
（2）求方程x+y=x²-xy+y²的整数解．
（3）求方程

1

x

+

1

y

+

1

z

=

5

6

的正整数解．

Answer 1

分析：对于（1）通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于（2）易想到完全平方公式，从配方人手，对于（3）易知x、y、z都大于1，不妨设l＜x≤y≤z，则

1

x

≥

1

y

≥

1

z

，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．

解答：解：（1）观察易得一个特解x=42，y=-12，原方程所有整数解为

x=42-52t y=-12+15t

（t为整数）．

（2）原方程化为（x-y）²+（x-1）²+（y-1） ²=2，由此得方程的解为（0，0），（2，2），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2）．

（3）∵

1

x

＜

1

x

+

1

y

+

1

z

≤

3

x

，即

1

x

＜

5

6

≤

3

x

，由此得x=2或x=3，当x=2时，

1

x

＜

1

y

+

1

z

=

5

6

-

1

2

=

1

3

≤

2

y

，
即

1

y

＜

1

3

≤

2

y

，由此得y=4，或5或6，同理当x=3时，y=3或4，由此可得1≤x≤y≤z时，（x，y，z）共有（2，4，12），（2，6，6），（3，3，6），（3，4，4）4组，由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程的解共有15组：（2，4，12），（2，12，4），（4，2，12），（4，12，2），（12，2，4），（12，4，2），（2，6，6），（6，2，6），（6，6，2），（3，3，6），（3，6，3），（6，3，3），（3，4，4），（4，4，3），（4，3，4）．

点评：此题主要考查了方程和不等式的相关性质，寻求并缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答．