Question

17．如图，在△ABC和△ADE中，AC=AB，AE=AD，∠CAB=∠EAD=90°
（1）求证：CE=BD；
（2）求证：CE⊥BD．

Answer 1

分析 （1）由已知条件证出∠CAE=∠BAD，由SAS证明△CAE≌△BAD，得出对应边相等即可；
（2）延长BD交CE于F，由全等三角形的性质得出∠ACE=∠ABD，由角的互余关系得出∠ABC+∠ACB=90°，证出∠DBC+∠BCF=90°，得出∠BFC=90°即可．

解答 （1）证明：∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}&{\;}\\{∠CAE=∠BAD}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE=BD．
（2）证明：延长BD交CE于F，如图所示：
∵△CAE≌△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠CAB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
即∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACB+∠ACE=90°，
即∠DBC+∠BCF=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CE⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的证明方法、直角三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．