Question

【题目】在正方形中，是一条对角线，点在直线上(不与点、重合)，连接，平移，使点移动到点，得到，过点作于，连接，．

（问题发现）

（1）如图①，若点在线段上，与的数量关系是________，位置关系是________．

（拓展探究）

（2）如图②，若点在线段的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由．

（解决问题）

（3）若点在线段的延长线上，且，正方形的边长为2，请直接写出求的长度．

Answer 1

【答案】（1），；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）．

【解析】

（1）连接HC，根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质得到△HDP≌△HQC，根据全等三角形的性质得到HP＝HC，∠DHP＝∠QHC，根据正方形是轴对称图形证明结论；

（2）同（1）的证明方法相同，根据图形证明即可；

（3）由（1）的结论AH＝PH，AH⊥PH，得出∠HPA＝45°，推导出∠APD＝30°，再由三角函数即可求解．

（1），．

证明如下：如解图，连接，

∵四边形是正方形，

∴∠，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

由平移的性质可知，

在和中，，

∴，

∴，．

根据正方形是轴对称图形得到，，

∴，

即，

∴，．

故答案为：，；

（2）（1）中的结论仍然成立，

理由如下：如解图，连接，

∵四边形是正方形，

∴，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

由平移的性质可知，

在和中，，

∴，

∴，．

根据正方形是轴对称图形得到，，

∴，

∴，；

（3）．

由（1）知，，，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴．