Question

13．如图1，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．
（1）在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上？若能，求出此时BD的长；若不能，请说明理由；
（2）如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作?ADEF．
①?ADEF的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点，直接写出MN+MP的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可知：∠BAC=∠ACB=∠EAD=60°，由三角形外角的性质可知∠ACB=∠CAD+∠ADC=60°，从而可知：∠CAD＜60°，所以∠CAD+∠BAC+∠EAD＜180°，故此点E不能移动到直线AB上；
（2）因为△ADE的面积=$\frac{1}{2}$AD•ADsin60°，所以当AD最短时，△ADE的面积有最小，根据垂线段最短可知当AD⊥BC时，△ADE的面积有最小值，四边形ADEF为平四边形，AE为对角线，所以平行四边形ADEF的面积是△ADE面积的2倍，所以三角形ADE的面积最小时，平行四边形的面积最小；
（3）当点N、M、P在一条直线上，且NP⊥AD时，MN+MP有最小值，最小值为AD与EF之间的距离．

解答 解：（1）不存在．
理由：如图1所示：

∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠EAD=60°．
∵∠ACB=∠CAD+∠ADC=60°，
∴∠CAD＜60°，
又∵∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠CAD+∠BAC+∠EAD＜180°．
∴点E不能移动到直线AB上．
（2）①存在：在图（2）中，当AD⊥BC时△ADE的面积最小．

在Rt△ADB中，AD=ABsin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
∴△ADE的面积=$\frac{1}{2}$AD•ADsin60°=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∵四边形ADEF为平四边形，AE为对角线，
∴平行四边形ADEF的面积是△ADE面积的2倍．
∴?ADEF的面积的最小值=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$；
②如图3所示：作点P关于AE的对称点P₁，

当点N、M、P在一条直线上，且NP⊥AD时，MN+MP有最小值，
过点A作AG∥NP₁，
∵AN∥GP₁，AG∥NP₁，
∴四边形ANP₁G为平行四边形．
∴NP₁=AG=AF•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
即MN+MP的最小值为3

点评 本题主要考查的是等边三角形的性质，特殊锐角三角函数，平行四边形的性质以及最短路径等知识点，明确?ADEF的面积最小和MN+MP有最小值时的条件时解题的关键．