Question

20．如图，AB是⊙O的直径，点D是$\widehat{AE}$上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE²=DF•DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；
（2）通过证得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
（3）连接DA、DO，先证得OD∥BE，得出$\frac{PD}{PE}$=$\frac{PO}{PB}$，然后根据已知条件得出$\frac{PO}{PB}$=$\frac{PD}{PE}$=$\frac{PD}{PD+DE}$=$\frac{2}{3}$，求得PD=4，通过证得△PDA∽△POD，得出$\frac{PD}{PO}$=$\frac{PA}{PD}$，设OA=x，则PA=x，PO=2x，得出$\frac{4}{2x}$=$\frac{x}{4}$，解得OA=2$\sqrt{2}$．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，
∴∠EAB=∠CBE，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE，$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴∠DEA=∠DBE，
∵∠EDB=∠BDE，
∴△DEF∽△DBE，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DF}{DE}$，
∴DE²=DF•DB；
（3）解：连接DA、DO，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠EBD=∠OBD，
∴∠EBD=∠ODB，
∴OD∥BE，
∴$\frac{PD}{PE}$=$\frac{PO}{PB}$，
∵PA=AO，
∴PA=AO=OB，
∴$\frac{PO}{PB}$=$\frac{2}{3}$
∴$\frac{PD}{PE}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{PD}{PD+DE}$=$\frac{2}{3}$，
∵DE=2，
∴PD=4，
∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠PDA=∠ABE，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴∠PDA=∠AOD，
∵∠P=∠P，
∴△PDA∽△POD，
∴$\frac{PD}{PO}$=$\frac{PA}{PD}$，
设OA=x，
∴PA=x，PO=2x，
∴$\frac{4}{2x}$=$\frac{x}{4}$，
∴2x²=16，x=2$\sqrt{2}$，
∴OA=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．