题目内容
（2013•常熟市模拟）如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，顶点D，C分别在射线AM、BN上运动，点E是AB上的动点，在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB（各动点都不与A，B重合）．经过C、D、E三点作圆．请探索以下2个问题：（1）当AB=8时，若动点E恰好是过C、D、E三点的圆与AB的切点，求CD长？
（2）当AB=a时，说明△BEC的周长等于2a．
分析：（1）先设圆心为O，连结OE，根据OE⊥AB，AB⊥BC，AD∥BC，得出OE∥AD∥BC，AE=BE=4，则OE是梯形ABCD的中位线，设AD=x，则DE=8-x，得出42+x2=（8-x）2，求出AD=3，根据AB⊥BC，AD∥BC，得出∠AED+∠ADE=90°，根据∠AED+∠BEC=90°，得出∠AED=∠BEC，则△ADE∽△BEC，得出
=
，最后根据OE=
（3+
）=
，即可得出CD=2OE=
．
（2）设AD=x，AE=m，则DE=a-x，在Rt△ADE中，得出a2-m2=2ax，再根据△ADE∽△BEC，得出
=
，则C△BEC=
=2a．
| AD |
| BE |
| AE |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| 16 |
| 3 |
| 25 |
| 6 |
| 25 |
| 3 |
（2）设AD=x，AE=m，则DE=a-x，在Rt△ADE中，得出a2-m2=2ax，再根据△ADE∽△BEC，得出
| C△BEC |
| m+a |
| a-m |
| x |
| a2-m2 |
| x |
解答：
解：（1）∵DE⊥CE，
∴CD是过C、D、E三点作圆得直径，
设圆心为O，并连结OE，
∵点E恰好是过C、D、E三点的圆与AB的切点，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴OE∥AD∥BC，
∵OC=OD，
∴AE=BE=4，
∴OE是梯形ABCD的中位线，
设AD=x，则DE=8-x，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，即AD=3，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BEC，
∵△ADE∽△BEC，
∴
=
，
∴BC=
，
∴OE=
（3+
）=
，
∴CD=2OE=
．
（2）设AD=x，AE=m，则DE=a-x，
在Rt△ADE中，（a-x）2=m2+x2，
∴a2-m2=2ax，
又∵△ADE∽△BEC，
∴
=
，
∴C△BEC=
=2a，
即△BEC的周长等于2a．
解：（1）∵DE⊥CE，∴CD是过C、D、E三点作圆得直径，
设圆心为O，并连结OE，
∵点E恰好是过C、D、E三点的圆与AB的切点，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴OE∥AD∥BC，
∵OC=OD，
∴AE=BE=4，
∴OE是梯形ABCD的中位线，
设AD=x，则DE=8-x，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，即AD=3，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BEC，
∵△ADE∽△BEC，
∴
| AD |
| BE |
| AE |
| BC |
∴BC=
| 16 |
| 3 |
∴OE=
| 1 |
| 2 |
| 16 |
| 3 |
| 25 |
| 6 |
∴CD=2OE=
| 25 |
| 3 |
（2）设AD=x，AE=m，则DE=a-x，
在Rt△ADE中，（a-x）2=m2+x2，
∴a2-m2=2ax，
又∵△ADE∽△BEC，
∴
| C△BEC |
| m+a |
| a-m |
| x |
∴C△BEC=
| a2-m2 |
| x |
即△BEC的周长等于2a．
点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用了转化及整体代入的数学思想．
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