题目内容
14．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在第一象限内，直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
分析 （1）由直线AC解析式可求得C点坐标即D点坐标，过B作BE⊥x轴于点E，利用等边三角形的性质可求得BE和OE的长，可求得E点坐标；
（2）由O、C关于l对称，则直线AC与l的交点即为所求得点P，利用直线AC解析式可求得P点坐标；
（3）利用直线AC解析式可设出满足条件的点的坐标，利用到坐标轴距离相等可得到方程，可求得满足条件的点的坐标．
解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{4}$x+1中，令y=0可求得x=4，
∴D（4，0），
过B作BE⊥x轴于点E，如图1，
∵△OBD为等边三角形，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=2，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=2$\sqrt{3}$，
∴B（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）∵等边△OBD是轴对称图形，对称轴为l，
∴点O与点C关于直线l对称，
∴直线AC与直线l的交点即为所求的点P，
把x=2代入y=-$\frac{1}{4}$x+1，得y=$\frac{1}{2}$，
∴点P的坐标为（2，$\frac{1}{2}$）；
（3）设满足条件的点为Q，其坐标为（m，-$\frac{1}{4}$m+1），
由题意可得-$\frac{1}{4}$m+1=m或-$\frac{1}{4}$m+1=-m，
解得m=$\frac{4}{5}$或m=-$\frac{4}{3}$，
∴在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$）或（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
点评 本题为一次函数的综合应用，涉及等边三角形的性质、轴对称的性质、函数图象上点的坐标特征、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中作出点B到x轴的距离是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中利用条件得到关于坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
习题精选系列答案
如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，AD=6，OA的长是方程x2-x-12=0的一个根，E是线段OD的中点．
如图，m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，边AC交直线m于D，∠1=25°，则∠2的度数为35°．
如图，点B、E、C、F在同一条直线上，且BE=CF，AB∥DE，AC∥DF，求证：AB=DE．
| A． | 3，3，3 | B． | 4，4，8 | C． | 3，4，5 | D． | 6，6，11 |
