Question

6．（1）如图1，以?BMDC的两相邻边CB、CD为腰，在?BMDC的外侧，做两个等腰Rt△CBF和Rt△CDH，则?BMDC中与C相对的顶点M与这两等腰直角三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰直角三角形FMH．请证明△FMH为等腰直角三角形．
（2）如图2，以?BMDC的两相邻边CB、CD为腰，在?BMDC的外侧，做两个等腰△CBF和△CDH，使其顶角∠CBF═∠CDH═a，则?BMDC中与C相对的顶点M与两等腰三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰三角形，写出顶角∠FMH的度数．试说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长BC交HM于N，FM交BC于O．只要证明△FBM≌△MDH即可解决问题；
（2）结论：∠FMH=α．如图1中，延长BC交HM于N，FM交BC于O．只要证明△FBM≌△MDH即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，延长BC交HM于N，FM交BC于O．

∵四边形BMDC是平行四边形，
∴BC=DM，BM=CD∠CBM=∠MDC，BC∥DM，
∵BF=BC，DC=DH，∠FBC=∠CDH=90°，
∴BF=DM，∠FBM=∠MDH，BM=DH，
∴△FBM≌△MDH，
∴FM=MH，∠BFM=∠DMH，
∵∠DMH=∠MNO，
∴∠OFB=∠ONM，
∵∠FOB=∠MON，
∴∠OMN=∠OBF=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．

（2）解：结论：∠FMH=α．
理由：如图1中，延长BC交HM于N，FM交BC于O．

∵四边形BMDC是平行四边形，
∴BC=DM，BM=CD∠CBM=∠MDC，BC∥DM，
∵BF=BC，DC=DH，∠FBC=∠CDH，
∴BF=DM，∠FBM=∠MDH，BM=DH，
∴△FBM≌△MDH，
∴∠BFM=∠DMH，
∵∠DMH=∠MNO，
∴∠OFB=∠ONM，
∵∠FOB=∠MON，
∴∠OMN=∠OBF，
∴∠FMH=α．

点评 本题考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．