Question

如图，平面直角坐标系中，已知两点A（0，10），B（15，0），AC∥x轴，点D是AO上的一点，点P以每秒2个单位的速度在射线AC上运动，连接DP，DB，设点P运动时间为t秒．
（1）求△OBP的面积．
（2）若∠PDB=65°，∠DBO=25°，求∠APD的度数？
（3）当S_△OAP=

1

2

S_{四边形OBPA}时，求点P运动的时间是多少？

Answer 1

考点：平行线的性质,坐标与图形性质,三角形的面积

专题：

分析：（1）连接OP、BP，作PG⊥OB于G，根据A、B的坐标求得OB=15，PG=10，然后根据三角形的面积公式即可求得；
（2）过D作DE∥x轴，根据两直线平行内错角相等，∠EDB=∠DBO，∠PDE=∠APD，得出∠EDB+∠PDE=∠DBO+∠APD，得出∠PDB=∠DBO+∠APD，进而求得∠APD=40°；
（3）根据S_△OAP=

1

2

S_{四边形OBPA}，列出关于时间t的方程，解这个方程即可．

解答：解：（1）如图1，连接OP、BP，作PG⊥OB于G．
∵A（0，10），B（15，0），AC∥x轴，
∴OB=15，PG=OA=10，
∴S_△OBP=

1

2

•OB•PG=

1

2

×15×10=75；

（2）如图2，过D作DE∥x轴
∴∠EDB=∠DBO
∵AC∥x轴
∴AC∥DE
∴∠PDE=∠APD
∴∠EDB+∠PDE=∠DBO+∠APD
∴∠PDB=∠DBO+∠APD
∵∠PDB=65°，∠DBO=25°，
∴65°=25°+∠APD
∴∠APD=40°；

（3）∵S_△OAP=

1

2

S_{四边形OBPA}，
∴

1

2

AP•OA=

1

2

×

1

2

OA（AP+OB），
即

1

2

×2t×10=

1

2

×

1

2

×10（2t+15），
解得t=

15

2

．

点评：本题考查了平行线的性质，坐标和图形的性质，三角形的面积，梯形的面积，熟练掌握平行线的性质，是本题的关键．