Question

4．如图，已知二次函数y=ax²+bx的图象经过点A（2，4）和B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）求该二次函数的图象的顶点坐标；
（3）C是该二次函数的图象上A，B两点之间的一个动点，点C的横坐标为x，写出四边形OBCA的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标分别代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=4}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，然后给解方程组即可得到a和b的值；
（2）有（1）得到抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+3x，然后利用配方法把一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；
（3）作AM⊥x轴于点M，CN⊥x轴于N，如图，设C（x，-$\frac{1}{2}$x²+3x），利用S_{四边形OBCA}=S_△AOM+S_梯形AMNC+S_△CNB可得到S与x的关系，然后利用二次函数的性质求S的最大值．

解答 解：（1）把A（2，4）和B（6，0）分别代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=4}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+3x
因为y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
所以抛物线的顶点坐标为（3，$\frac{9}{2}$）；
（3）作AM⊥x轴于点M，CN⊥x轴于N，如图，设C（x，-$\frac{1}{2}$x²+3x），
∵S_{四边形OBCA}=S_△AOM+S_梯形AMNC+S_△CNB，
∴S=$\frac{1}{2}$•2•4+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+3x+4）（x-2）+$\frac{1}{2}$•（6-x）•（-$\frac{1}{2}$x²+3x）
=-x2+8x
=-（x-4）²+16（2＜x＜6），
当x=4时，S有最大值，最大值为16．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用待定系数法求抛物线的解析式；能运用分割法求不规则图形的面积．