Question

9．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP$\underset{∥}{=}$BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=$\frac{1}{3}$AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为2：3．

Answer 1

分析 首先过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PE，易得四边形APEB，BFPH是平行四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD=a，则AB=3a，可求得BH=PF=2a，又由S_△HBC=S_△PBC，S_△HBC：S_△ABC=BH：AB，即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比．

解答 解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PE，
∵AP$\underset{∥}{=}$BE，
∴四边形APEB是平行四边形，
∴PE∥AB，PE=AB，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，EF=BD，
即EF∥AB，
∴P，E，F共线，
设BD=a，
∵BD=$\frac{1}{3}$AB，
∴PE=AB=3a，
则PF=PE-EF=2a，
∵PH∥BC，
∴S_△HBC=S_△PBC，
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形，
∴BH=PF=2a，
∵S_△HBC：S_△ABC=BH：AB=2a：3a=2：3，
∴S_△PBC：S_△ABC=2：3．
故答案为：2：3．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比是关键．