Question

已知点A（-1，0），点B（与A不重合）在射线AO上，点C在x轴上方，且△ABC为等边三角形，射线AC交y轴于D．
（1）当AB=4时，则点B、C、D的坐标分别是：B：______，C：______，D：______；
（2）若AB=m（m＞0），则点B、C的坐标分别是：B：______，C：______；
当C、D不重合时，请根据m的不同取值，对于过B、C、D三点的二次函数开口方向作出判断，直接写出结论（不要求证明）．
（3）是否存在点B，使？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（-1，0），点B（与A不重合）在射线AO上，AB=4，
∴B点坐标为（3，0）；
过点C作CE⊥x轴于点E，
∵△ABC为等边三角形，
∴AE=AB=2，CE=AE=2，
∴OE=AE-OA=2-1=1，
∴C点坐标为（1，2）；
在△AOD中，∵∠AOD=90°，∠OAD=60°，OA=1，
∴OD=OA•tan60°=，
∴D点坐标为（0，）；

（2）∵AB=m，点A（-1，0），
∴B（m-1，0）；
过点C作CE⊥x轴于点E，
∵△ABC为等边三角形，
∴AE=AB=m，CE=AE=m，
∵点A（-1，0），
∴点E（m-1，0），
C点坐标为（m-1，m）．
∵C、D不重合，
∴m≠2，
又m=1时，B与O重合，过B、C、D三点的二次函数不存在，
∴m≠1且m≠2．
当0＜m＜1时，B点在x轴负半轴上，过B、C、D三点的抛物线开口向上；
当m＞1（m≠2）时，B点在x轴正半轴上，过B、C、D三点的抛物线开口向下；

（3）存在点B，使S_△BCD=．理由如下：
设AB=m，分两种情况：
①当m＞2时，如备用图1．
S_△BCD=S_△ABC-S_ABD=m²-m•=m²-m，
由m²-m=，
解得m₁=，m₂=（不满足m＞2，舍去），
所以有m=，-1+=，
这时点B₁的坐标为（）；
②当0＜m＜2时，如备用图2，S_△BCD=S_△ABD-S_ABC=m•-m²=-m²+m，
由-m²+m=，
解得m₁=，m₂=，
-1+=-，-1+=，
这时点B₂的坐标为（），点B₃的坐标为（）．
综上所述，当点B的坐标为（），（）和（）时，有S_△BCD=．
故答案为（3，0），（1，2），（0，）；（m-1，0），（m-1，m）．
分析：（1）由点A（-1，0）及AB=4，易得出B点坐标为（3，0）；过点C作CE⊥x轴于点E，根据等边三角形的性质求出，AE=AB=2，CE=AE=2，则OE=1，得到C点坐标为（1，2）；解Rt△AOD，得出OD=OA•tan60°=，进而得到D点坐标为（0，）；
（2）先由AB=m，点A（-1，0），得出B（m-1，0）；过点C作CE⊥x轴于点E，根据等边三角形的性质得出，AE=AB=m，CE=AE=m，由两点间的距离公式求出点E（m-1，0），则C点坐标为（m-1，m）；先由已知条件得出m≠1且m≠2，再分两种情况进行讨论：①0＜m＜1，②m＞1（m≠2），根据B、C、D三点的位置及抛物线的形状特征，即可得到过B、C、D三点的二次函数的开口方向；
（3）设AB=m，分两种情况进行讨论：
①当m＞2时，如备用图1，先根据三角形的面积公式得出S_△BCD=S_△ABC-S_ABD=m²-m，再列出方程m²-m=，解方程即可求出点B₁的坐标；
②当0＜m＜2时，如备用图2，先根据三角形的面积公式得出S_△BCD=S_△ABD-S_ABC=-m²+m，再解方程-m²+m=，解方程即可．
点评：本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，两点间的距离公式，三角形的面积，解一元二次方程等知识，综合性较强，难度适中，运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．