Question

如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，动点P从点D出发沿DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．两个点同时出发，当点P到达C点时，点Q随之停止运动．求：
（1）梯形ABCD的面积；
（2）当PQ∥AB时，点P离开点D的时间（秒）；
（3）当P、Q、C这三个点构成直角三角形时，点P离开点D多长时间？

Answer 1

分析：（1）已知梯形ABCD的上、下底，要求梯形的面积，根据梯形的面积公式，可知只需求出梯形的高即可．为此，作梯形的高AE、DF，得到矩形ADFE及一对全等的三角形△ABE与△DCF，先求出BE的长，再由勾股定理求出梯形的高；
（2）当PQ∥AB时，易证△PQC是等腰三角形，过P作PM⊥QC于M．由等腰三角形三线合一的性质，可知QM=MC．如果设P点离开D点的时间等于t秒，则可用含t的代数式分别表示DP，PC，CQ，在直角△PMC中，根据PM=PCsinC=CMtanC，列出关于t的方程，即可求出结果；
（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，设P点离开D点x秒，则可用含x的代数式分别表示DP，PC，CQ．由于∠C是锐角，那么分两种情况：①∠PQC=90°；②∠QPC=90°．针对每一种情况，都可以在直角△PCQ中，利用cosC的值列出关于x的方程，从而求出结果．

解答：解：（1）作梯形的高AE、DF，得到矩形ADFE及直角△ABE，△DCF．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF，又AEFD为矩形，得到AD=EF，
∴BE=CF=

1

2

（BC-AD）=3，
在直角△ABE中，∠AEB=90°，AB=5，BE=3，
∴根据勾股定理得：AE=4，
则梯形ABCD的面积=

1

2

（BC+AD）•AE=

1

2

（12+6）×4=36；

（2）如图，当PQ∥AB时，设P点离开D点的时间等于t秒，
则DP=t，PC=5-t，CQ=2t．
过P作PM⊥QC于M．
∵PQ∥AB，
∴∠PQM=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠PQM=∠C，
∴PQ=PC=5-t，
∴QM=MC=t．
∵PM=PC•sinC=CM•tanC，sinC=sinB=

AE

AB

=

4

5

，tanC=tanB=

AE

BE

=

4

3

，
∴

4

5

（5-t）=

4

3

t，
∴t=

15

8

；

（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，设P点离开D点x秒，则DP=x，PC=5-x，CQ=2x．
分两种情况：①如图，若∠PQC=90°，则cosC=

CQ

PC

，
∴

2x

5-x

=

3

5

，解得x=

15

13

；
②如图，若∠QPC=90°，则cosC=

CP

CQ

，
∴

5-x

2x

=

3

5

，解得x=

25

11

．
故当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点的时间为

15

13

秒或

25

11

秒．

点评：本题主要考查梯形的面积公式，等腰梯形的性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性较强，第三问中注意分类讨论．