Question

5．已知函数y=kx²+（3k+2）x+2k+2．
（1）k分别取0，1，-1时，试求出各函数表达式，并说出这三个函数的一个共同点．
（2）对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，试求出m的最大整数值．
（3）点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数图象上两个点，满足若x₁+x₂=-3，试比较y₁和y₂的大小关系．

Answer 1

分析 （1）把k=0，1，-1分别代入y=kx²+（3k+2）x+2k+2，即可求出各函数表达式，进而得出这三个函数的一个共同点；
（2）k＜0，函数y=kx²+（3k+2）x+2k+2开口向下，再求出对称轴为：x=-$\frac{3k+2}{2k}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{k}$＞-$\frac{3}{2}$，根据x＜m时，y随x的增大而增大，利用二次函数的增减性即可求出m的最大整数值是-2；
（3）先根据二次函数图象上点的坐标特征得出y₁=kx₁²+（3k+2）x₁+2k+2，y₂=kx₂²+（3k+2）x₂+2k+2，将两式相减，得出y₁-y₂=[kx₁²+（3k+2）x₁+2k+2]-[kx₂²+（3k+2）x₂+2k+2]=k（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（3k+2）（x₁-x₂），把x₁+x₂=-3代入并且化简整理得出y₁-y₂=2（x₁-x₂），然后分x₁＞x₂；x₁=x₂；x₁＜x₂三种情况讨论即可．

解答 解：（1）k=0时，y=2x+2；
k=1时，y=x²+5x+4；
k=-1时，y=-x²-x；
共同点：三个函数的图象都经过点（-1，0），（-2，-2）；

（2）对于任意负实数k，函数y=kx²+（3k+2）x+2k+2的图象是开口向下的抛物线，
对称轴为：x=-$\frac{3k+2}{2k}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{k}$＞-$\frac{3}{2}$，
∵当x＜m时，y随x的增大而增大，
∴m的最大整数值是-2；

（3）∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数图象上两个点，
∴y₁=kx₁²+（3k+2）x₁+2k+2，y₂=kx₂²+（3k+2）x₂+2k+2，
两式相减，得y₁-y₂=[kx₁²+（3k+2）x₁+2k+2]-[kx₂²+（3k+2）x₂+2k+2]
=（kx₁²-kx₂²）+[（3k+2）x₁-（3k+2）x₂]
=k（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（3k+2）（x₁-x₂）
=-3k（x₁-x₂）+（3k+2）（x₁-x₂）
=2（x₁-x₂），
当x₁＞x₂时，y₁＞y₂；
当x₁=x₂时，y₁=y₂；
当x₁＜x₂时，y₁＜y₂．

点评 本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，因式分解等知识，难度适中．熟记二次函数的性质是解题的关键．