Question

13．如图，△ABC为等边三角形，过点B作BD⊥AC于点D，过D作DE∥BC，且DE=CD，连接CE，
（1）求证：△CDE为等边三角形；
（2）请连接BE，若AB=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠EDC=60°，DE=DC，运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行判断即可．
（2）过点E作EH⊥BC于H，构造直角三角形，先求得EH=EC•sin60°=2×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\sqrt{3}$，CH=EC•cos60°=1，进而得到$BE=\sqrt{B{H^2}+E{H^2}}=\sqrt{{5^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠ACB=60°，
又∵DE=DC，
∴△CDE为等边三角形；

（2）过点E作EH⊥BC于H，
∵BD⊥AC，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=2，
又∵△CDE为等边三角形，
∴CE=CD=2，
∵∠ECH=60°，
∴EH=EC•sin60°=2×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\sqrt{3}$，CH=EC•cos60°=1，
∴$BE=\sqrt{B{H^2}+E{H^2}}=\sqrt{{5^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．解题时注意：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．