Question

【题目】《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．

【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．

【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．

【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．

Answer 1

【答案】【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．

【解析】

试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；

【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；

【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；

【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；

分三部分进行讨论：

①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；

②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；

③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．

试题解析：【问题】

∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，

∴0=a（0﹣2）2﹣，

a=；

【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，

对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），

沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+

如图②，图象G对应的函数解析式为：y=；

【探究】：如图③，由题意得：

当y=1时，（x﹣2）2﹣=0，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

∴C（2﹣，1），F（2+，1），

当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0，

解得：x1=3，x2=1，

∴D（1，1），E（3，1），

由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；

【应用】：∵D（1，1），E（3，1），

∴DE=3﹣1=2，

∵S△PDE= DEh≥1，

∴h≥1；

①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，

∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，

（m﹣2）2≥10，

m﹣2≥或m﹣2≤﹣，

m≥2+或m≤2﹣，

②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，

∵H（2，），

∴HM=﹣1=＜1，

∴当点P不可能在DE的上方；

③∵MN=1，

且O（0，0），a（4，0），

∴P与O或A重合时，符合条件，

∴m=0或m=4；

综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．