Question

10．某单位有一块四边形的空地，∠B=90°，量得各边的长度如图（单位：米），现计划在空地内种草．
（1）连接AC，证明△ACD是直角三角形；
（2）若每平方米草地造价30元，这块全部种草的费用是多少元？

Answer 1

分析 （1）连接AC，由勾股定理求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系和勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△DAC构成，求出四边形的面积，则容易求解．

解答 （1）证明：连接AC，如图所示：
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²=5²，
∴AC=5．
在△DAC中，CD²=13²，AD²=12²，
而12²+5²=13²，
即AC²+AD²=CD²，
∴∠DAC=90°，
即△ACD是直角三角形；
（2）解：S_{四边形ABCD}=S_△BAC+S_△DAC=$\frac{1}{2}$•BC•AB+$\frac{1}{2}$DC•AC，
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×12×5=36．
所以需费用36×30=1080（元）；
答：这块全部种草的费用是1080元．

点评 本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．