Question

11．图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=$\frac{1}{2}$，tan$β=\frac{3}{2}$，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求点P的坐标；
（2）水面上升1m，水面宽多少（$\sqrt{2}$取1.41，结果精确到0.1m）？

Answer 1

分析 （1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；
（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．

解答 解：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图．
设PH=3x，
在Rt△OHP中，
∵tanα=$\frac{PH}{OH}$=$\frac{1}{2}$，
∴OH=6x．
在Rt△AHP中，
∵tanβ=$\frac{PH}{AH}$=$\frac{3}{2}$，
∴AH=2x，
∴OA=OH+AH=8x=4，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴OH=3，PH=$\frac{3}{2}$，
∴点P的坐标为（3，$\frac{3}{2}$）；

（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，
过点O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y=ax（x-4），
∵P（3，$\frac{3}{2}$）在抛物线y=ax（x-4）上，
∴3a（3-4）=$\frac{3}{2}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x（x-4）．
当y=1时，-$\frac{1}{2}$x（x-4）=1，
解得x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$，
∴BC=（2+$\sqrt{2}$）-（2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$=2×1.41=2.82≈2.8．
答：水面上升1m，水面宽约为2.8米．

点评 本题主要考查了三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识，出现角的度数（30°、45°或60°）或角的三角函数值，通常放到直角三角形中通过解直角三角形来解决问题．