Question

18．如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B固定且坐标为（$\sqrt{2}$，0），顶点A在⊙O上运动，始终保持∠CAB=90°，AC=AB
（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；
（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；
（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；
（4）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）中有两种情况，即A点坐标为（1，0）或（-1，0），根据AB=AC，求出C点坐标；
（2）根据题意过点O作OM⊥BC于点M，求出OM的长，与半径比较得出位置关系；
（3）过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求AE的长，然后再在Rt△BAE中求出AB的长，进而求出面积的表达式，根据自变量的取值范围确定最大最小值；
（4）相切时有两种情况，在第一象限或者第四象限，连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A点坐标，AB所在直线对应的函数关系式很容易就能求出．

解答 解：
（1）当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=$\sqrt{2}$-1，点C的坐标为（1，$\sqrt{2}$-1）或（1，1-$\sqrt{2}$）；
当点A的坐标为（-1，0）时，AB=AC=$\sqrt{2}$+1，点C的坐标为（-1，$\sqrt{2}$+1）或（-1，-$\sqrt{2}$-1）；
（2）直线BC与⊙O相切．
如图1，过点O作OM⊥BC于点M，

∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=1
∴直线BC与⊙O相切；
（3）过点A作AE⊥OB于点E，如图2，

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=1-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（1-x²）+（$\sqrt{2}$-x）²=3-2$\sqrt{2}$x
∴S=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{1}{2}$（3-2$\sqrt{2}$x）=$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$x，
其中-1≤x≤1，
当x=-1时，S的最大值为$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
当x=1时，S的最小值为$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$；
（4）①当点A位于第一象限时（如右图3）：
连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，

∵直线AB与⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴点O、A、C在同一条直线
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
点A的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
过A、B两点的直线为y=-x+$\sqrt{2}$；
②当点A位于第四象限时（如图4），

点A的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
∵B的坐标为（$\sqrt{2}$，0）
∴过A、B两点的直线为y=x-$\sqrt{2}$．

点评 本题为圆的综合应用，涉及切线的性质与判定、直线与圆的位置关系、等腰直角三角形的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．