Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点E、F分别在AD、AB线段上，将△AEF沿EF翻折，使得点A落在矩形ABCD内部P点，连接PD，则PD的最小值是3$\sqrt{5}$-6．

Answer 1

分析 当△AEF沿EF翻折时，点A落在BD上时，有PD最小，根据勾股定理先求BD的长，再由折叠得出BP的长，相减可得PD的最小值．

解答 解：如图1，设A的对称点为P，
连接DF，过P作PG⊥DF于G，
在Rt△PDG中，PD＞DG，
∴当点A的对称点P落在DF上时，PD最小，
即当FG取最大值时，DG最小，而F在AB上，
∴当F与B重合时，FG最大，GD最小，即PD最小，
如图2，点F与B重合，P在BD上，
在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
由折叠得：AB=BP=6，
∴PD=BD-BP=3$\sqrt{5}$-6，
则PD的最小值是3$\sqrt{5}$-6，
故答案为：3$\sqrt{5}$-6．

点评 根据翻折变换的性质可知：翻折前后的两个图形大小不发生变化，即线段的角对应相等；本题求最小值问题，思路为：A的对称点在DF上时，有最小值；先确定其最小值的位置，再利用勾股定理的折叠性质进行计算．