Question

如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．

（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）以点E为中心，在位似中心的同侧画出△EDF的一个位似△ED₁F₁，使得它与△EDF的相似比为2：1；
（3）求△ABC与△ED₁F₁的面积比．

Answer 1

考点：作图-位似变换,相似三角形的判定与性质

专题：几何变换

分析：（1）先利用勾股定理计算出两个三角形的所有边长，通过计算对应边的比得到

BC

EF

=

AC

FD

=

AB

ED

，再根据相似三角形的判定方法即可得到△ABC∽△DEF；
（2）根据画位似图形的方法画出△ED₁F₁；
（3）易得△ABC∽△D₁EF₁，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算．

解答：解：（1）∵AB=2

5

，AC=

5

，BC=5，EF=

10

，FD=

2

，ED=2

2

，
∴

BC

EF

=

5

10

=

10

2

，

AC

FD

=

5

2

=

10

2

，

AB

ED

=

2 5

2 2

=

10

2

，
∴

BC

EF

=

AC

FD

=

AB

ED

，
∴△ABC∽△DEF；
（2）延长ED到点D₁，使ED₁=2ED，延长EF到点F₁，使EF₁=2EF，连结D₁F₁，则△ED₁F₁为所求，如图；
（3）∵△ABC∽△DEF，△DEF∽△D₁EF₁，
∴△ABC∽△D₁EF₁，
∴△ABC与△ED₁F₁的面积比=（

AC

D1F1

）²=（

5

2 2

）²=

5

8

．

点评：本题考查了作图-位似变化：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了相似三角形的判定与性质．