Question

3．如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的一次函数y=kx+b的图象与边BC交于点F，交y轴于点P（0，3），若OA=2，OC=4．
（1）若△OAE、△OCF的面积分别为S₁、S₂．且S₁•S₂=4，求k和b的值；
（2）在（1）的条件下，写出直线OE、OF的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）把P坐标代入一次函数解析式求出b的值；根据矩形OABC边OA的长确定出E的纵坐标；根据OC的长求出F的横坐标，分别代入一次函数解析式表示出AE与CF，进而表示出三角形OAE与三角形OCF的面积，代入S₁•S₂=4求出k的值即可；
（2）由（1）确定出E与F坐标，即可确定出直线OE与直线OF解析式．

解答 解：（1）把P（0，3）代入y=kx+b中得：b=3，即一次函数解析式为y=kx+3，
由题意得：E纵坐标为2，F横坐标为4，
把y=2代入一次函数解析式得：x=-$\frac{1}{k}$；把x=4代入一次函数解析式为y=4k+3，
即AE=-$\frac{1}{k}$，CF=4k+3，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×2×（-$\frac{1}{k}$）=-$\frac{1}{k}$，S₂=$\frac{1}{2}$×4×（4k+3）=8k+6，
代入S₁•S₂=4得：-8-$\frac{6}{k}$=4，即k=-$\frac{1}{2}$，
则k=-$\frac{1}{2}$，b=3；
（2）根据（1）得：E（2，2），F（4，1），
则直线OE解析式为y=x；直线OF解析式为y=$\frac{1}{4}$x．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，矩形的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．