Question

12．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．

Answer 1

分析 （1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180×$\frac{1}{4}$=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．

解答 证明：（1）在△ADE与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{DE=DE}\\{EA=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵BE=BC
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE=2：3，
∴∠CBE=180×$\frac{2}{2+3+3}$=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．

点评 本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．