Question

已知抛物线y=ax²+bx经过点A（2，0）顶点为D（1，-1）．
（1）确定抛物线的解析式；
（2）直线y=3与抛物线相交于B、C两点（B点在C点左侧），以B、点C及原点O为顶点作平行四边形．设平行四边形的另一顶点为Q，请求出点Q的坐标．
（3）若以（2）小题中BC为一边，抛物线的任一点P为另一顶点作为平行四边形，当平行四边形面积为8时，确定P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-配方法,平行四边形的性质,平移的性质

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）可根据抛物线的顶点坐标将抛物线的解析式设成顶点式，然后把点A的坐标代入抛物线的顶点式，就可解决问题；
（2）可先求出点B、C的坐标，然后根据平行四边形的性质及平移的性质就可求出点Q的坐标；
（3）根据条件可求出点P到BC的距离，从而得到点P的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式，就可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx顶点为D（1，-1），
∴抛物线的解析式可设为y=a（x-1）²-1，
又∵该抛物线经过点A（2，0），
∴a（2-1）²-1=0，
∴a=1，
∴y=（x-1）²-1=x²-2x，
即抛物线的解析式为y=x²-2x；

（2）如图1，
当y=3时，x²-2x=3，
解得：x₁=3，x₂=-1，
∴B（-1，3），C（3，3），
∴BC=4．
①若BC为平行四边形的一边，
则OQ∥BC，且OQ=BC，
∴点Q在x轴上，且OQ=4，
∴点Q的坐标为（-4，0）或（4，0）；
②若BC为平行四边形的一条对角线，
则OB∥CQ，且OB=CQ，
∴线段CQ可由线段OB平移所得．
∵点O（0，0）向右移动3个单位，再向上移动3个单位到达点C（3，3），
∴点B（-1，3）向右移动3个单位，再向上移动3个单位到达点Q，
∴点Q的坐标为（-1+3，3+3）即（2，6）．
综上所述：符合条件的点Q的坐标为（-4，0）或（4，0）或（2，6）；

（3）过点P作PH⊥BC于点H，如图2，
由题可得：S_△PBC=

1

2

BC•PH=

1

2

×8=4，
∵BC=4，∴PH=2．
①当点P在BC下方时，y_P=3-2=1，
由x²-2x=1得x₃=1+

2

，x₄=1-

2

，
∴点P的坐标为（1+

2

，1）或（1-

2

，1）；
②当点P在BC上方时，y_P=3+2=5，
由x²-2x=5得x₅=1+

6

，x₆=1-

6

，
∴点P的坐标为（1+

6

，5）或（1-

6

，5）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（1+

2

，1）或（1-

2

，1）或（1+

6

，5）或（1-

6

，5）．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、平行四边形的性质、平移的性质、解一元二次方程等知识，正确进行分类是解决本题的关键．