Question

如图，在平面直角坐标系O中，梯形AOBC的边OB在轴的正半轴上，AC//OB,BC⊥OB,过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E.

（1）填空：双曲线的另一支在第          象限，的取值范围是        ；
（2）若点C的坐标为（2,2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？
（3）若，S_△OAC="2" ，求双曲线的解析式.

Answer 1

（1）三，k＞0，（2）在BC的中点（3）y＝

（1）三，k＞0，
（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入y=得x=；把x=2代入y=得y=
∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，），
∴S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE=×（2-）×（2-）+×2×=k²-k+2=（k-2）²+1.5
当k-2=0，即k=2时，S_阴影部分最小，最小值为1.5；
∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，
∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；
（3）设D点坐标为（a，），
∵OD：OC=1：2，
∴OD=DC，即D点为OC的中点，
∴C点坐标为（2a，），
∴A点的纵坐标为，
把y=代入y=得x=，
∴A点坐标为（，），
∵S_△OAC=2，
∴×（2a-）×=2，
∴k=。
∴双曲线的解析式y＝。
当k＞0时，反比例函数y="k/x" （k≠0）的图象分布在第一、三象限；点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；运用梯形的性质得到平行线段，从而找到点的坐标特点