Question

9．如图，AB为⊙O的弦，AL、BD都为⊙O的切线．
（1）如图1，求证：∠LAB+∠ABD=180°；
（2）如图2，连接DL，且AL=BD，连接DL交AB于点G，求证：LG=DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AG=3，⊙O的半径长为$\sqrt{19}$，∠BGD=30°，求DL的长．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质得出．∠OAL=∠OBD=90°，再由∠OAB=∠OBA转化即可得出结论；
（2）先判断出∠LAB=∠DEA，AL=DE从而判断出△LAG≌△DEG即可得出结论；
（3）先判断出△OAL≌△OBD得出OL=OD，结合（2）得出的结论LG=DG，进而求出EF，FG，判断出OG⊥LD，然后构造出△OAG∽△DEF，即可求出DE，OG=$\sqrt{3}$FD，最后用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，连接OA，OB，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵AL为⊙O的切线．
∴∠OAL=90°，
∵BD为⊙O的切线，
∴∠OBD=90°，
∴∠LAB+∠ABD=∠LAO+∠OAB+∠ABD=∠LAO+∠OBA+∠ABD=∠OAL+∠OBD=180°，

（2）如图2，在BG上取一点E，使DE=DB，

∴∠ABD=∠BED，
∵∠LAB+∠ABD=180°，
∴∠LAB+∠BED=180°，
∵∠BED+∠DEG=180°，
∴∠LAB=∠DEA，
∵AL=BD，
∴AL=DE，
在△LAG和△DEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AGL=∠EGD}\\{∠LAG=DEA}\\{LA=DE}\end{array}\right.$，
∴△LAG≌△DEG，
∴LG=DG；
（3）如图4，连接OL，OA，OB，OG，OD，

在△OAL和△OBD中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠OAL=∠OBD}\\{AL=BD}\end{array}\right.$，
∴△OAL≌△OBD，
∴OL=OD，
由（2）知，LG=DG，
∴∠OGL=∠OGD=90°，
∵∠AGL=∠BGD=30°，
∴∠AGO=120°，
过点E作EF⊥AB交DG于F，连接DE，如图3，
在Rt△GEF中，∠EGF=30°，EG=AG=3，
∴EF=$\sqrt{3}$，FG=2$\sqrt{3}$，
∴∠EFD=∠FEG+∠BGD=90°+30°=120°=∠AGO，
由（2）知，∠LAG=∠DEG，∠OAL=∠GEF，
∴∠OAG=∠DEF，
∴△OAG∽△DEF，
∴$\frac{OA}{DE}$=$\frac{AG}{EF}$=$\frac{OG}{DF}$，
设DF=x，
∵OA=$\sqrt{19}$，
∴$\frac{\sqrt{19}}{DE}=\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\frac{OG}{x}$，
∴OG=$\sqrt{3}$x，DE=$\frac{\sqrt{57}}{3}$，
∴AL=DE=$\frac{\sqrt{57}}{3}$，
在Rt△OAL中，OL=$\sqrt{O{A}^{2}+A{L}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{57}}{3}$，
在Rt△OGL中，OG²+LG²=OL²，
∴（$\sqrt{3}$x）²+（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$x）²=（$\frac{2\sqrt{57}}{3}$）²，
∴x=$\frac{-18+\sqrt{261}}{9}$（舍负取正），
∴LD=2LG=2DG=2（FG+DF）=2（2$\sqrt{3}$+$\frac{-18+\sqrt{261}}{9}$）=$\frac{36\sqrt{3}-36+2\sqrt{261}}{9}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出LG=DG，作出辅助线是解本题的难点．