Question

2．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

Answer 1

分析 （1）先根据A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30）得出OA及OB的长，再由EF∥x轴得出EF是△BOA的中位线，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）用t表示出OE及OP的长，再分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），
∴OA=40，OB=30．
∵动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），
∴t=15时，BE=30-15=15，
∵EF∥x轴，
∴EF是△BOA的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$OA=20，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$EF•OE=$\frac{1}{2}$×20×15=150；

（2）∵动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），
∴OE=t，OP=40-2t，
∴当△EOP∽△BOA时，$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{t}{30}$=$\frac{40-2t}{40}$，解得t=12（秒）；
当△EOP∽△AOB时，$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OE}{OA}$，即$\frac{40-2t}{30}$=$\frac{t}{40}$．解得t=$\frac{160}{11}$（秒）．
综上所述，当t=12秒或t=$\frac{160}{11}$秒时，△EOP与△BOA相似．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到三角形中位线定理、三角形的面积公式及相似三角形的判定与性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．