Question

15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到F，使得EF=BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形．
（2）若DE=4cm，∠EBC=60°，求菱形BCFE的面积．

Answer 1

分析 （1）先判断DE为△ABC的中位线得到DE∥BC且2DE=BC，加上BE=2DE，EF=BE，则EF=BC，EF∥BC，所以可判断四边形BCFE是平行四边形，然后再判断四边形BCFE是菱形；
（2）先计算出BC=2DE=8，再判断△BCE为等边三角形，根据等边三角形的面积公式得到S_△BCE=16$\sqrt{3}$，所以菱形BCFE的面积=2S_△BCE=32$\sqrt{3}$（cm²）．

解答 （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC且2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE=FE，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵DE=4，
∴BC=2DE=8，
∵∠EBC=60°，
而BE=BC，
∴△BCE为等边三角形，
∴S_△BCE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×8²=16$\sqrt{3}$，
∴菱形BCFE的面积=2S_△BCE=32$\sqrt{3}$（cm²）．

点评 本题考查了菱形的判定与性质：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．也考查了等边三角形的判定与性质．