Question

如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（6，

9

2

）、B（6，0）．
（1）以原点O为位似中心，将AB按相似比2：1放大，并且对应线段CD在y轴左侧，其中，点C与点A对应，点D与点B对应，直接写出C、D两点的坐标；
（2）在（1）中，若将y轴正半轴上的点P作为位似中心，其余条件不变，且点A的对应点C恰好在x轴上，求OP的长；
（3）试探究（2）中的

1

AB

、

1

CD

、

1

OP

之间的关系．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据位似图形的定义及其性质，直接写出C、D两点的坐标即可解决问题．
（2）如图，作出图形；利用相似三角形的性质，列出比例式即可解决问题．
（3）通过△OBP∽△CBD，得到

OP

CD

=

OB

BC

①；通过△POC∽△ABC，得到

OP

AB

=

OC

BC

②，由①+②即可解决问题．

解答：解：（1）点C、点D的坐标分别为C（-12，-9）、D（-12，0）．
（2）如图，连接AC、BD，则必过点P；
由位似图形的性质知：△BAP∽△CDP，
∴

AP

CP

=

AB

CD

，而DC=2AB，
∴CP=2AP，设AP=λ，则CP=2λ，AC=3λ；
∵OP∥AB，
∴△POC∽△ABC，
∴

OP

AB

=

PC

AC

=

2λ

3λ

，而AB=

9

2

，
∴OP=

2

3

×

9

2

=3．
（3）由题意知：CD∥AB，而OP∥AB，
∴CD∥OP，△OBP∽△CBD，
∴

OP

CD

=

OB

BC

①；
∵△POC∽△ABC，
∴

OP

AB

=

OC

BC

②，由①+②得：

OP

CD

+

OP

AB

=

OB+OC

BC

，
而OB+OC=BC，
∴

OP

CD

+

OP

AB

=1，两端除以OP得：

1

AB

+

1

CD

=

1

OP

．

点评：该题以平面直角坐标系为载体，以位似变换为方法，以相似三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；解题的关键是深入观察、大胆猜测、合理推断、科学论证．