Question

7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：
（1）∠ECB=∠BAD；
（2）BE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质求得即可；
（2）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ECB=∠BAD．

（2）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{BO=BO}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质、切线的判定、三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质，综合考查的知识点较多，熟练掌握定理的内容是解题的关键．