Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，BC=4

3

，CD=8．过C点且垂直于AC的直线l以每秒2个单位的速度沿CA向A点运动；与此同时，点P、Q分别从A、B出发向C点运动，P点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒

3

个单位，设P、Q点与直线l的运动时间为t．
（1）试说明△ACD为等边三角形．
（2）t为何值时，以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线l相切？
（3）求梯形ABCD与直线l在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由∠B=90°，AB=4，BC=4

3

，CD=8．易求得AC=CD=8，∠ACD=60°，即可证得△ACD为等边三角形．
（2）首先连接PQ，作PH⊥AB于H，易求得PQ=4-t，证得四边形PHBQ是矩形，然后设直线l与AC的垂足为E，若⊙P与l相切，则PE=PQ，即可得2t+（4-t）+2t=8或2t+2t-（4-t）=8，继而求得答案；
（3）分别从当0≤t≤2时，当2≤t≤3时，当3≤t≤4时去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=4

3

，
∴tan∠ACB=

AB

BC

=

3

3

，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB=8，
∵AB∥CD，CD=8，
∴∠BCD=90°，AC=CD，
∴∠ACD=60°，
∴△ACD为等边三角形．

（2）连接PQ，作PH⊥AB于H，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴PH∥BQ，∠BAC=60°，
在Rt△APH中，∠APH=30°，AP=2t，
∴AH=AP•cos60°=t，PH=AP•sin60°=

3

t，
∵BQ=

3

t，
∴PH=BQ，
∴四边形PHBQ是矩形，
∴PQ=BH=4-t，
设直线l与AC的垂足为E，若⊙P与l相切，则PE=PQ，
∵CE=2t，AC=AP+PE+CE或AC=AP+CE-PE，
即2t+（4-t）+2t=8或2t+2t-（4-t）=8，
解得：t=

4

3

或t=

12

5

；

（3）设直线l在运动过程中，与CD与AD的交点为M，与BC，AB的交点为N，与AC的交点为E，
当直线过点D时，
∵CD=8，∠ACD=60°，CE=2t，
∴CD=2CE=4t=8，
∴t=2；
当直线l过点B时，CN=

CE

cos30°

=

4 3

3

t=4

3

，
∴t=3；
当直线l过点A时，2t=8，
∴t=4；
①如图（1），当0≤t≤2时，在Rt△CEN中，CN=

4 3

3

t，
在Rt△CEM中，CM=2CE=4t，
∴S=

1

2

CN•CM=

1

2

×

4 3

3

t×4t=

8 3

3

t²；
②如图（2），当2≤t≤3时，
∵AE=AC-CE=8-2t，
∴EM=

3

（8-2t），EN=

2 3

3

t，
∴S_△AEM=

1

2

AE•EM=

1

2

×

3

（8-2t）•（8-2t）=2

3

（4-t）²，S_△ACD=16

3

，S_△CEN=

1

2

CE•EN=

2 3

3

t²，
∴S=S_△ACD-S_△AEM+S_△CEN=-

4 3

3

t²+16

3

t-16

3

；
③当3≤t≤4时，
∵S_△AEM=2

3

（4-t）²，S_△AEN=

1

2

AE•EN=

1

2

×（8-2t）×

3

（8-2t）=2

3

（4-t）²，S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•BC=24

3

，
∴S=S_梯形ABCD-S_△AEM-S_△AEN=-4

3

t²+32

3

t-40

3

．

点评：此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数的性质以及矩形的判定与性质等知识．此题综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．