Question

9．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；
（2）求FG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．

解答 （1）证明：连接OD，
∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，
∴∠B=∠C=∠ODB=60°，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，
∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，
∴DF是圆O的切线；
（2）∵OB=OD=$\frac{1}{2}$AB=6，且∠B=60°，
∴BD=OB=OD=6，
∴CD=BC-BD=AB-BD=12-6=6，
∵在Rt△CFD中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴AF=AC-CF=12-3=9，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA=90°，
∵∠FAG=60°，
∴FG=AFsin60°=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．