Question

【题目】如图1,在矩形中，,延长至点,使得过点作,交线段于点．设

（1）连结,请求出的度数和的半径(用的代数式表示)． (直接写出答案)

（2）证明:点是的中点．

（3）如图2，延长至点,使得, 连结,交于点

①连结,当与四边形其它三边中的一边相等时，请求出所有满足条件的的值．

②当点关于直线对称点恰好落在上，连结．记和的面积分别为,请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）90°，；（2）详见解析；（3）①，或，或；②

【解析】

（1）利用圆心角与圆周角的关系可得到：∠BOD=2∠BED=2×45°=90°，再通过构造全等三角形，最后利用勾股定理求解即可；

（2）连结，利用勾股定理计算得到 从而求解 可得结论，

（3）①要分三种情况进行分类讨论：DH=BD或DH=BE或DH=EH，可得答案． ②利用对称性质，相似三角形性质求得BD、DC、DE、DH的值，作G′P⊥GE，DQ⊥GE，利用同底三角形面积之比等于高之比求得： 利用进行转化，可得答案．

解：（1）如图1，过点O作OM⊥AD于M交BC于N，

∵ABCD是矩形，AB=x，AD=2AB

∴AB=CD=x，BC=AD=2x，∠A=∠ADC=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°，BC∥AD

∵CE=BC

∴∠BED=∠CBE=45°

∴∠BOD=2∠BED=2×45°=90°

∴∠BON+∠DOM=90°

∵OM⊥AD，BC∥AD

∴OM⊥BC

∴∠AMO=∠OMD=∠BNO=90°

∴∠ODM+∠DOM=90°

∴∠BON=∠ODM，

∵OB=OD，

∴△BON≌△ODM（AAS）

∴BN=OM，ON=DM

∵∠A=∠ABC=∠AMO=90°

∴ABNM是矩形

∴AM=BN，MN=AB=x

∴AD=AM+DM=OM+DM=MN+2DM，

即：2x=x+2DM，DM= x

∴OM=MN+ON=MN+DM=

∴OD=

即⊙O的半径为

如图1，连结，

在矩形中

为的直径，

点是的中点．

（3）①如图2,当时,

，

,

．

，

．

如图2，当时，

经检验：是原方程的根，且符合题意．

如图3,连结当时，

为的中位线，

综上：,当与四边形其它三边中的一边相等时， 的值为或或．

②如图4，过D作DQ⊥GE于Q，过G′作G′P⊥GE延长线于P，

连接GG′、G′B、G′E、G′H、G′D，GG′交DH于T，

∵G，G′关于DH对称，

∴GG′⊥DH，GG′=2GT，

∠HG′D=∠HGD，

∵∠HG′D=∠HED，

∴∠HED=∠HGD=45°

∴DG=DE，

即：10-x=3x，解得：x=，

由①知：此时，BD=DH=，直径BH=，

DG=DG′=DE=，HS=ES=

∵∠BDC+∠EDH=∠EDH+∠GDT=90°，

∴∠BDC=∠GDT

∴△BDC∽△GDT

∴

∴DT=，TG=TG′=

TH=DH-DT=

GH=

∵G′P⊥GE

∴∠P=∠GTH=90°，∠HGT=∠G′GP

∴△GG′P∽△GHT

∴ 即：

解得：G′P＝

∵DQGH=GTDH，

即：

解得：DQ=

∴

∴

∴G′E∥BH

∴S△BEG′=S△G′EH

∴

即：