Question

如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F,连接DE,BE,DF.

(1)求证：BE=CD；

(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.

Answer 1

(1)证明：由题知AE＝AD,AB＝AC,∠BAC＝∠EAD＝α.

∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC,

∠EAD＝∠BAD+∠EAB,

∴∠EAB＝∠DAC，∴△EAB≌△DAC(SAS),

∴BE＝CD.

(2)四边形BDFE是菱形.

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠C=∠DBF,

∴BE=BD=CD.

由△EAB≌△DAC，得∠EBF=∠C，

∴∠EBF=∠DBF.

∵EF∥BC，∴∠DBF=∠EFB，

∴∠EBF=∠EFB，

∴EB=EF，∴EF=BD，

∴四边形BDFE是平行四边形.

又∵BE=BD，

∴四边形BDFE是菱形.