Question

如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，

AD

BC

=

2

5

，cosB=

3

5

，P是边BC上的一个动点，∠APQ=∠B，PQ交射线AD于点Q．设点P到点B的距离为x，点Q到点D的距离为y．
（1）用含x的代数式表示AP的长．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
（3）△CPQ与△ABP能否相似？如果能，请求出BP的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过A作AH⊥BC于点H，可以求出AH，BH的长度，然后在Rt△AHP中，利用勾股定理表示AP的长度；
（2）先利用

AD

BC

=

2

5

与等腰梯形的性质求出AD、BC的长度，然后证明△APQ和△PBA相似，根据相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，再代入数据进行整理即可得到y关于x的函数解析式；
（3）要使△CPQ与△ABP相似，因为可以证明∠BAP=∠CPQ，所以还必须有∠PQC=∠B或∠PCQ=∠B，因此需要分两种情况进行讨论，根据相似三角形对应边成比例列比例式进行求解即可．

解答：解：（1）作AH⊥BC于点H．
∵cosB=

3

5

，AB=5，
∴BH=3，AH=4．（2分）
在Rt△AHP中，
AP=

(3-x)2+42

=

x2-6x+25

．（1分）

（2）∵

AD

BC

=

2

5

，
∴

AD

6+AD

=

2

5

．
∴AD=4，BC=10．（1分）
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠APB．
∵∠APQ=∠B．
∴△APQ∽△PBA．（1分）
∴

AQ

AP

=

AP

BP

．（1分）
∴

y+4

x2-6x+25

=

x2-6x+25

x

．
∴y=

x2-10x+25

x

．（1分）
定义域为0＜x≤10；（1分）

（3）要使△CPQ与△ABP相似，必须有∠PQC=∠B或∠PCQ=∠B．
（i）如果∠PQC=∠B，那么∠APQ=∠PQC．
∴AP∥CQ．
∵AQ∥PC，
∴四边形APCQ是平行四边形．（1分）
∴AQ=PC，即y+4=10-x．
∴

x2-10x+25

x

+4=10-x．（1分）
整理，得2x²-16x+25=0．
∴x=

16± 162-4×2×25

4

=

16± 56

4

=

8± 14

2

．（1分）
（ⅱ）如果∠PCQ=∠B时，那么点Q与点D重合．（1分）
∴y=0，即

x2-10x+25

x

=0．（1分）
∴x=5．（1分）
综上所述，△CPQ与△ABP能相似，此时BP=

8± 14

2

或5．

点评：本题主要考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及解直角三角形，综合性较强，需要结合图形，对各知识点综合考虑并灵活运用方能解决．