Question

如图，Rt△ABC中，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F
①∠A=40°，求∠CDB的度数；
②求证：BE垂直平分CD．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：

分析：①由题意可知D为AB的中点，由直角三角形的性质可知DC=DA，再结合三角形外角的性质可求得∠CDB=2∠A，可求得∠CDB；
②由条件可证明△BCE≌△BDE，可得EC=ED，可得BE为CD的垂直平分线．

解答：①解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴DC=DA，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠CDB=2∠A=80°；
②证明：在Rt△BCE和Rt△BDE中，

BC=BD BE=BE

∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴EC=ED，
∴点B和点E在线段CD的垂直平分线上，
∴BE垂直平分CD．

点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．