Question

5．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，交y轴于C点，已知抛物线的对称轴为x=1，点B（3，0），点C（0，-3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小，Q为线段BC上一个动点，过Q作QE∥PD交抛物线于E，求当四边形PDEQ为平行四边形时，Q点坐标．
（3）在x轴下方且在抛物线上有一动点F，求四边形OBFC的面积最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PD，QE，根据平行四边形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）由A、B关于对称轴对称，对称轴为x=1，点B（3，0），得
A（-1，0）．
将A、B、C点的坐标代入函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）如图1，

连接BC交对称轴于P，设BC的解析式为y=kx+b，将B、C点坐标代入，
解得k=1，b=-3，
BC的解析式为y=x-3，当x=1时，y=-2，即P（1，-2）．
y=x²-2x-3，当x=1时，y=-4，即D（1，-4）．
PD=-2-（-4）=2．
设Q点坐标为（m，m-3），E（m，m²-2m-3），
QE=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m．
由当四边形PDEQ为平行四边形，得
QE=PD，即-m²+3m=2，
解得m=2，m=1（不符合题意，舍），
当m=2时，m-3=-1，
即Q（2，-1）．
当四边形PDEQ为平行四边形时，Q点坐标（2，-1）；
（3）如图2，
，
过F作FH⊥x轴于H点，交BC于G点．
设F（m，m²-2m-3），G点坐标为（m，m-3），
FG=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m．
S_{四边形OBFC}=S_△OCB+S_BCF=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3=$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2}$[-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]，
当m=$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{63}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出A点坐标是解题关键；利用平行四边形的性质得出关于m的方程是解题关键；面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．