Question

13．平面直角坐标系中，如图（1），直线AB交x轴于点B，交y轴于点A（0，2），∠ABO=30°，直线AC与直线AB关于y轴对称．
（1）分别求出直线AB、直线AC的解析式；
（2）点E、F分别在线段AB、AC上，若∠EOF=60°，计算BE+CF的值；
（3）若点E、F分别在射线BA，射线AC上，∠EOF=60°，直接写出线段BE、CF、BC三者的数量关系式．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形30度角性质，求出点B坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）取AC中点G，连接GO，CO，根据△GOE≌△COF，可得GE=CF，即可解题；
（3）结论：BE-CF=$\sqrt{3}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．过点O作OM⊥AB于 M，ON⊥AC于N，首先证明△OME≌△ONF，推出EM=FN，Rt△OMB≌Rt△ONC，推出BM=CN，可得BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM，因为BC=2OB，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵A（0，2），
∴OA=2，
∵∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴B（-2$\sqrt{3}$，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-2\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
∵∴直线AC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．

（2）取AB中点G，连接GO，

∵AC=AB，O为BC中点，∴AO⊥BC，∠CAO=60°，
∵G为AB中点，
∴OG=$\frac{1}{2}$AB=GA，
∵∠BAC=120°，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴AO=GO，
∴△OGA为等边三角形，
∴∠GOA=60°，
∵∠EOF=60°
∴∠GOE=∠AOF，
在△GOE和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGO=∠FAO}\\{∠EOG=∠AOF}\\{OG=OA}\end{array}\right.$，
∴△GOE≌△AOF（AAS），
∴GE=AF，
∴AF+AE=AE+GE=AG=$\frac{1}{2}$AB，
∴BE+CF=AB+AC-（AE+AF）=2AB-$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$AB=6．

（3）结论：BE-CF=$\sqrt{3}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．
理由：过点O作OM⊥AB于 M，ON⊥AC于N，

∵∠EAF=∠EOF=60°，
∴∠E=∠F，
∵OA平分∠BAC，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴OM=ON，
在△OME和△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠OME=∠ONF}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OME≌△ONF，
∴EM=FN，
∵OB=OC，OM=ON，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC，
∴BM=CN，
∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM，
∵BC=2OB，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB，
∴BE-CF=$\sqrt{3}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．