Question

已知⊙的半径为1，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点的坐标为（，0），顶点在轴上方，顶点在⊙上运动．

（1）当点运动到与点、在一条直线上时，与⊙相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
（2）设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值．

Answer 1

（1）CD与⊙O相切 （2），S的最大值为，S的最小值为

解析试题分析：（1）因为A、D、O在一直线上，，
所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切线 
CD与⊙O相切时，有两种情况：
① 点在第二象限时（如图①），

设正方形ABCD的边长为a，
则，
解得，或（舍去）
过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，
所以，
所以DE=，OE=，
所以点D₁的坐标是（-，）
所以OD所在直线对应的函数表达式为 
②切点在第四象限时（如图②），

设正方形ABCD的边长为b，则，
解得（舍去），或 
过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，
所以，
所以OF=，DF=，
所以点D₂的坐标是（，-）        
所以OD所在直线对应的函数表达式为
（2）过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，

则
= 
所以 
因为，所以S的最大值为，
S的最小值为
考点：函数图象与几何的结合
点评：作为试卷的压轴题，难度一般都不小，此类题目，只能通过多做多练，寻找其中的规律