Question

已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（-

13

，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动．
（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）易证CD是⊙O的切线，根据Rt△ODE∽Rt△OBA得到DE的长，再求出D₁的坐标，根据待定系数法，求出函数解析式；
（2）过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²，所以S=AB²=

1

2

BD²=7+

13

x，因为-1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出．

解答：解：（1）CD与⊙O相切．
∵A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线．
CD与⊙O相切时，有两种情况：
①切点在第二象限时（如图1），
设正方形ABCD的边长为a，则a²+（a+1）²=13，
解得a=2，或a=-3（舍去），
过点D作DE⊥OB于E，
则Rt△ODE∽Rt△OBA，
∴

OD

OB

=

DE

BA

=

OE

OA

，
∴DE=

2 13

13

，OE=

3 13

13

，
∴点D₁的坐标是（-

3 13

13

，

2 13

13

），
∴OD所在直线对应的函数表达式为y=-

2

3

x；
②切点在第四象限时（如图2），
设正方形ABCD的边长为b，则b²+（b-1）²=13，
解得b=-2（舍去），或b=3，
过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，
∴

OD

OB

=

OF

OA

=

DF

BA

，
∴OF=

2 13

13

，DF=

3 13

13

，
∴点D₂的坐标是（

2 13

13

，-

3 13

13

），
∴OD所在直线对应的函数表达式为y=-

3

2

x；

（2）如图3，
过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，
则BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²=（-

13

-x）²+1-x²=14+2

13

x，
∴S=AB²=

1

2

BD²=7+

13

x，
∵-1≤x≤1，
∴S的最大值为7+

13

，S的最小值为7-

13

．

点评：最值问题的解决方法，一般是转化为函数问题，转化为求函数的最值．