Question

18、如图，已知⊙O的半径为R，以⊙O上一点A为圆心，以r为半径作⊙A，又直径PQ与⊙A相切，切点为D，且交⊙O于P、Q．求证：AP•AQ为定值．

Answer 1

分析：由PQ为⊙O的直径，得到∠PAQ=90°，PQ=2R，又PQ切⊙A于D，得到AD⊥PQ，AD=r，易证Rt△QAD∽Rt△QPA，所以AP•AQ=AD•PQ．
得到AP•AQ=2Rr，即可说明AP•AQ为定值．

解答：解：∵PQ为⊙O的直径，
∴∠PAQ=90°，PQ=2R，
又∵PQ切⊙A于D，
∴AD⊥PQ，AD=r，
∴Rt△QAD∽Rt△QPA，
∴AP•AQ=AD•PQ．
∴AP•AQ=2Rr，
即AP•AQ为定值．

点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．也考查了直径所对的圆周角为直角以及三角形相似的判定与性质．