Question

【题目】如图，在中，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动；同时，点从点出发，沿以每秒2个单位的速度向终点运动，当、两点其中一点到达点时，另一点也随之停止运动，过点作，过点作．当点与点不重合时，以、为邻边作．设、两点的运动时间为秒．

（1）求线段的长．(用含的代数式表示)

（2）点在边上运动，当点落在边上时，求的值．

（3）设与重叠部分图形的面积为，当点在内部时，求与之间的函数关系式．

（4）当的一边是它邻边2倍时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，，当时，；（2）；（3）；（4）或或．

【解析】

（1）分两种情况：当时，点在线段上运动，当时，点在线段上运动，分别求出CQ的长，即可；

（2）当点落在边上时，易得，结合四边形是平行四边形，列出方程，即可求解；

（3）分两种情况：①当时，过点M作MN⊥AC于点N，②当时，过点Q作QH⊥AB于点H，分别求出S关于t的解析式，即可；

（4）分两种情况：①当时，在线段上运动，②当点在线段上运动时，根据或，列方程，求出t的值，进而即可得到t的范围．

（1）∵在中，，

∴当时，点在线段上运动，，

当时，点在线段上运动，；

（2）∵在中，，

∴，

当点落在边上时，如图1，

，

，

，

∴四边形是平行四边形，

，

解得：；

（3）①当时，点在内部，过点M作MN⊥AC于点N，如图2，则∠QNM=∠C=90°，

∵，

∴∠MQN=∠A，

，

∴MN=QM=AP=t，

∴，

∵当t=5时，点M与点Q重合，

∴②当时，点在内部，过点Q作QH⊥AB于点H，如图3，

∵QN∥PM∥AC，

，即：NB=QB=(10-2t)，

∴PN=10-AP-BN=，

同理：QH=，

∴，

综上所述：与之间的函数关系式为：；

（4）①当时，在线段上运动，即，

②如图4，当点在线段上运动时，，

∵

，即：QN=，

∴PM=QN=，

∴，解得：，

如图5，当点在线段上运动时，，

∴，解得：，

∴当的一边是它邻边2倍时，的取值范围为：或或．