Question

平面直角坐标中，正方形ABCD位置如图所示，点A（1，0），D（0，2）延长CB交x轴于点A₁，作正方形AB₁C₁C，延长CB₁交x轴于A₂，作正方形AB₂C₂C₁…，按这样规定进行下去，第n个正方形边长

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质

专题：规律型

分析：根据点A、D的坐标求出OA、OD，再利用勾股定理列式求出AD，然后求出∠ADO=∠A₁AB，再求出△AOD和△A₁BA相似，根据相似三角形对应边成比例求出A₁B=

1

2

AB，从而求出第二个正方形的边长，同理依次求解即可．

解答：解：∵点A（1，0），D（0，2），
∴OA=1，OD=2，
由勾股定理得，AD=

OA2+OD2

=

12+22

=

5

，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=AD=

5

，
∴∠DAO+∠A₁AB=90°，
∵∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠A₁AB，
又∵∠AOD=∠A₁BA=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OA

OD

=

A1B

AB

，
∴A₁B=

1

2

AB，
∴第二个正方形的边长A₁C=

3

2

AB=

3 5

2

，
同理可得第三个正方形的边长A₂C₁=

3

2

A₁C=（

3

2

）²AB=（

3

2

）²

5

，
…，
第n个正方形的边长=（

3

2

）^n-1

5

．
故答案为：（

3

2

）^n-1

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的

3

2

倍是解题的关键．