Question

【题目】抛物线：与轴交于点、两点，与轴交于点，且．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，点在轴左侧的抛物线上，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的对应点恰好落在抛物线上，若，求点的坐标；

（3）如图2，将抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，一次函数的图象与抛物线只有一个公共点，与轴交于点，探究：轴上是否存在定点满足？若存在，求出点的坐标；否则，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）根据题意，求出点B的坐标，然后将点B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求出结论；

（2）设，则，利用待定系数法求出直线MC的解析式，过点作轴交于，根据点N与y轴的位置关系分类讨论，利用“铅垂高，水平宽”列出方程，即可求出结论；

（3）根据题意可得平移后的二次函数解析式为，设，求出直线l的解析式，然后联立方程，令△=0即可求出，过点作于，记定点，连接、，利用相似三角形的判定证出，列出比例式即可求出结论．

解：（1）∵

∴OC=1

∵AB=4OC

∴AB=4

∵抛物线的对称轴为y轴

∴OB=2

∴点B的坐标为（2,0）

将点B、C的坐标代入中，得

∴抛物线的解析式为．

（2）解：可设，则，

，

设，

将点N的坐标代入，得

可得：，

过点作轴交于，

，

情况一：当点在轴左侧时，则

∴

解得，，（舍去），

∴此时M

情况二：当点在轴右侧时，则

∴

解得，

∴此时

综上：或．

（3）解：存在，

由题意可知：平移后的二次函数解析式为

依题意可设，

将代入l中，

可得：

联立

整理得，

即：

当时，则

过点作于，记定点，连接、，

，

，

∴∠HEG＋∠EGH=90°，∠OGF＋∠EGH=90°

∴∠HEG=∠OGF

，

，

解得，或（由G为定点，故舍去）

．