题目内容
已知：△ABC中，∠BAC=135°，D、E在BC上（D在B、E之间），且AD=AE，∠DAE=90°，求证：（1）DE2=2BD•CE，
（2）AB2：AC2=BD：CE．
分析：可先作出简单的图形，结合图形进行分析；由题中条件可得△ABD∽△CAE，得出AD2=BD•CE，进而再由线段及垂直关系，第一问可求解，第二问在第一问的基础上替换一下即可．
解答：
证明：
（1）∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠B+∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠C，又∠ADB=∠AEC=135°，
∴△ABD∽△CAE，
∴
=
，即AD•AE=BD•CE，即AD2=BD•CE，
又DE2=AD2+AE2=2AD2，
∴DE2=2BD•CE．
（2）由（1）得
=
=
，
=
=
=
．
证明：（1）∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠B+∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠C，又∠ADB=∠AEC=135°，
∴△ABD∽△CAE，
∴
| BD |
| AE |
| AD |
| CE |
又DE2=AD2+AE2=2AD2，
∴DE2=2BD•CE．
（2）由（1）得
| AB |
| AC |
| BD |
| AE |
| BD |
| AD |
| AB2 |
| AC2 |
| BD2 |
| AD2 |
| BD2 |
| BD•CE |
| BD |
| CE |
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握并运用．
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