Question

4．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）试说明CD垂直于AB；
（2）求证：DE平分∠BDC；
（3）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

Answer 1

分析 （1）分别证明D在AB的垂直平分线上，C也在AB的垂直平分线上，即可解决问题．
（2）只要证明∠CDE=∠BDE=60°即可．
（3）首先证明△DCM是等边三角形，再证明△ADC≌△EMC，即可推出ME=AD=BD．

解答 证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，∠ABD=∠ABC-15°=30°，
∴∠BAD=∠ABD，
∴BD=AD．
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
∴直线CD是线段AB的垂直平分线．

（2）∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°，
∴∠CDE=∠BDE，
∴DE平分∠BDC．

（3）如图，连接MC．
∵DC=DM，∠MDC=60°，
∴△DMC是等边三角形．
∴CM=CD，∠DMC=∠CDM=60°，
∴∠ADC=∠EMC=120°，
在△ADC和△EMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠EMC}\\{∠DAC=∠MEC}\\{AC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EMC，
∴ME=AD=BD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．